Как менять СНИЛС при смене фамилии?

Девушки, знающие, подскажите, пожалуйста!

• Должны ли поменять СНИЛС по месту работы? Я слышала, в отделе кадров его меняют, но мне моя кадровичка сказала, что я это делаю сама...
• Можно ли менять его не по месту прописки? У наших органов, как всегда, режим работы «для ленивых», а мне к ним ехать через весь город, это пол рабочего дня. Проживаю я в том же городе, но в другом районе.